Rectas (paralelas, perpendiculares)

 Rectas.

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados todos en una misma dirección, en tanto, esa sucesión se caracteriza por ser continua e indefinida.

Rectas paralelas.

Las rectas paralelas son aquellas lineas que mantienen una cierta distancia entre sí, y a pesar de prolongar su trayectoria hasta el infinito, nunca se encuentran o se tocan en ningún punto; es decir se entiende por rectas paralelas las que se hallan en un mismo plano, no presentan ningún punto en común y muestran la misma pendiente, o sea que no han de tocarse ni cruzarse, ni siquiera sus prolongaciones se cruzan, un claro ejemplo de esto son las vías del tren.

                                                          

Rectas perpendiculares.

Las rectas perpendiculares son dos o más rectas que se interceptan formando un ángulo de 90° como las dos rectas dibujadas en la gráfica.

                                                         

Características de los triángulos

Características de los triángulos (según sus lados)

Estos se clasifican en los siguientes 3 tipos de triángulos, que son:

Triángulo equilatero.

Este triángulo es un polígono regular, esto quiere decir que posee tres lados iguales, los triángulos equilateros son también triángulos equiángulares, esto quiere decir que los 3 ángulos internos son iguales y miden 60°.

                                   

                                                     

Triángulo isósceles.

Un triángulo es un tipo de triángulo que tiene dos lados de igual longitud. A veces se especifica que tiene dos y solo dos lados de igualmente longitud.el ángulo formado por los lados de igual longitud se llama ángulo en el vértice y el lado opuesto a el, base.

Triángulo escaleno.

Todos sus lados son de distintas medidas y tiene tres ángulos de diferentes medidas

Características de los triángulos(según sus ángulos)

Triángulo acutángulo.

Este triángulo tiene la característica de que posee tres ángulos agudos. estos ángulos agudos miden menos de 90°.

Triángulo obtusángulo.

Este triángulo tiene la característica de que posee dos ángulos agudos y uno obtuso. Los dos ángulos agudos que miden menos de 90° y uno obtuso que mide más de 90°.

Triángulo rectángulo.

Este triángulo tiene la característica de que posee un ángulo recto y dos agudos. El ángulo recto que mide 90° y los otros dos ángulos agudos que miden menos de 90°.

Geometría plana

Geometría plana

La geometría es la rama de la matemática orientada al análisis de las medidas y de las propiedad de las figuras en un espacio o en un plano.

La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano, y estos elementos geométricos son estudiados a partir de dos dimensiones.

Los elementos básicos con los que se suele trabajar en esta parte de geometría son: el punto, la recta, semirrecta, segmento, así como otros conceptos que se irán desarrollando en los siguientes apartados.

Ángulos

En geometría, el ángulo puede ser definido como la parte del plano determinada por dos semirrectas, llamadas lados que tienen el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo.

La medida de un ángulo es considerada como la longitud del arco de circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados. Su medida es un múltiplo de la razón entre la longitud del arco y el radio. Su unidad natural es el radian, pero también se puede utilizar el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Ángulos adyacentes.

Los ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tiene el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas a veces pueden tener hasta 4 lados, dependiendo de los vértices. de allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un angulo llano (180°) sin poseer ningún punto interior en común. 

Los senos de los ángulos adyacentes son lo mismo, por ejemplo:

sin( 120° ) = sin( 60° )

sin( α ) = sin( 180° - α )

sin( α ) = sin( π - α )

Ángulos obtusos.

El ángulo obtuso es el espacio entre dos rectas que comparten un mismo vértice cuya inclinación o abertura es mayor que 90 grados (90°)  y menor que 180 grados (180°).

                                                      

                                                       

Ángulo recto.

Un ángulo recto es aquel que mide 90°. Su amplitud medida en otras unidades es:  π/ 2 radianes y 100°(centesimales). Sus dos lados son dos semirrectas perpendiculares y el vértice es el origen de dichas semirrectas. 

                                    

Ángulo agudo.

El ángulo agudo es el espacio entre dos rectas que comparten un mismo vértice cuya inclinación o apertura es mayor que 0 grados (0°) y menor que 90 grados (90°). 

Ángulos complementarios. 

Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90° sexagesimales, es decir, que si dos ángulos complementarios son a su vez consecutivos, los lados no comunes de estos forman un ángulo recto. 

                                                       

Ángulos suplementarios.

Dos ángulos \alpha y \beta  son ángulos suplementarios, si suman 180°.

                                                      

Método de obtención.

Para obtener el ángulo suplementario \beta de un determinado ángulo \alpha se restara \alpha a 180° de la siguiente manera

    \beta =180°-\alpha 

Mapas de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas en forma canónica. A partir de la tabla de Karnaugh se puede obtener una forma canónica mínima (con el mínimo número de términos). En este texto emplearemos indistintamente los términos “mapa” y “tabla” de Karnaugh.

La tabla de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la función que se quiere simplificar. Si la función viene expresada como una tabla de verdad, entonces la tabla de Karnaugh puede verse como una forma alternativa de representación 2D. Puesto que la tabla de verdad de una función de n variables posee 2n filas, la tabla de Karnaugh correspondiente debe poseer también 2n celdas. La construcción de la tabla de Karnaugh pasa por codificar cada celda en código binario reflejado (o código Gray) de manera que celdas adyacentes tengan un código que difiere en un solo dígito.

    

        

GRAFOS DIRIGIDOS REPRESENTADOS COMO MATRIZ DE ADYACENCIA

En esta representación se requiere de una matriz cuadrada ADYA [][] de tamaño N*N, siendo N el número de vértices del grafo. Esta matriz se llena de la siguiente manera.

 

 

ADYA [ i ][ j ] = 1  Si el vértice i es adyacente al vértice j.

 

ADYA[ i ][ j ] = 0  Si el vértice i  no es adyacente al vértice j.

Tomemos como ejemplo el siguiente grafo dirigido. En este caso la matriz Mat [][]  necesaria para representar el grafo es de tamaño 5*5 y  como el grafo es dirigido, cada lado se representa < i, j >, indicando que el lado inicia  en el vértice i y termina en el vértice j. Como el grafo es dirigido, debemos determinar de qué manera vamos a representar el  grafo, si entrando o saliendo para nuestro ejemplo vamos a representar el grafo saliendo.   1 2 3 4 5 1       1 1 2 1     1   3           4 1   1   1 5       1

Compuertas lógicas y algebra de Boole

Álgebra Booleana

Herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana. Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación.

FUNCIONES BOOLEANAS DE UNA y DOS VARIABLES

El álgebra de Boole es la fundación matemática de los sistemas digitales.

Las operaciones del álgebra de Boole deben regirse por propiedades y reglas lógicas llamados leyes o postulados.

Estos postulados se pueden usar para demostrar leyes más generales sobre expresiones booleanas.

Estos postulados también se usan para simplificar y optimizar expresiones booleanas y sistemas digitales.

 

Funciones de cero variables. Estas son las funciones constantes y sólo hay dos:

 

     f0=0         Función constante cero                    f1 = 1                  Función constante uno

 

Funciones de una variable. Además de las funciones constantes ahora se pueden definir otras dos:

  f0(A) = 0        Función constante cero                       f1(A)=A          función identidad

  f2(A) = A        Función complemento, negación       f3(A) = 1         Función constante uno

 

Funciones de dos variables. En este caso se pueden definir 16 funciones diferentes, las cuales incluyen las cuatro anteriores y otras doce más. En la siguiente tabla se muestra un resumen de las dieciséis

funciones de dos variables, incluyendo su nombre, su tabla de verdad, y su expresión lógica (booleana).

 

		Const. CERO	AND		Identidad		Identidad	EXOR	OR
A	B	0	AŸB	A B	A	A B	B	A   B	A + B
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1

 

		NOR	EQUIVAL ENCIA	NOT		NOT		NAND	Const. UNO
A	B	A B	A ? B	B	A B	A	A B	A B	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1

compuertas lógicas

Las compuertas lógicas, esperamos que en este breve tutorial se aclarara esta pregunta. En resumen, una compuerta lógica es la mínima operación digital que se puede realizar. Existen al menos 4 operaciones básicas, la multiplicación lógica (AND), suma lógica (OR), la negación lógica (NOT) y la comparación lógica (XOR). El resto de las operaciones se realizan con las anteriores y sus negaciones. Una compuerta lógica es un conjunto de transistores que realizan dichas operaciones. Estas son los bloques básicos con los que están construidos los sistemas digitales actuales.

COMPUERTA AND

Tabla, Representación y Fórmula Compuerta AND

COMPUERTA OR

Tabla, Representación y Fórmula Compuerta OR

 

COMPUERTA NOT

Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NOT

COMPUERTA NAND

Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NAND

Compuerta NOR

Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NOR

Compuerta XNOR

Tabla, Representación y Fórmula Compuerta XNOR

Para la compuerta AND, La salida estará en estado alto de tal manera que solo si las dos entradas se encuentran en estado alto. Por esta razón podemos considerar que es una multiplicación binaria.

Q=A.B

Compuerta AND

La compuerta OR, la salida estará en estado alto cuando cualquier entrada o ambas estén en estado alto. De tal manera que sea una suma lógica.

Q=A+B

Compuerta OR

En la compuerta NOT, el estado de la salida es inversa a la entrada. Evidentemente, una negación.

Q=Q

Compuerta NOT

Para la compuerta NAND, cuando las dos entradas estén en estado alto la salida estará en estado bajo. Como resultado de la negación de una AND.

Q= (A.B)

Compuerta NAND

En la compuerta NOR, cuando las dos entradas estén estado bajo la salida estará en estado alto. Esencialmente una OR negada.

Q= (A+B)

Compuerta NOR

XOR

La compuerta XOR Su salida estará en estado bajo cuando las dos entradas se encuentren en estado bajo o alto. Al mismo tiempo podemos observar que entradas iguales es cero y diferentes es uno.

Q= A.B+A.B

Compuerta XOR

XNOR

Su salida de hecho estará en estado bajo cuando una de las dos entradas se encuentre en estado alto. Igualmente, la salida de una XOR negada.

Q=A.B+A.B